Lekcja 3. Odległości na osi liczbowej

Przedmiot: Matematyka, klasa 7
Dział 1 w dzienniku: Liczby i działania
W podręczniku WSiP temat 1.8 i podsumowanie rozdziału (ok. s. 60–70)
Po: lekcji 2
Dalej: wariant 1, wariant 2, wariant 3

🎓 Jak czytać z tatą. Oś — palcem po kartce. Potem wzór na odległość. Potem pięć zadań. Klucze — tylko tata.

RU: Ось идёт влево в минус, вправо в плюс. Расстояние всегда неотрицательное. Дима говорит byłem na minusie, не byłam.

Po co to teraz

Termometr rano: −4°C. Po południu: 6°C. O ile wzrosła temperatura?

To nie «4 + 6 w głowie na szczęście». To odległość na osi. Na sprawdzianie rysują oś albo dają dwie liczby całkowite.

1. Oś liczbowa (oś liczbowa)

Prosta. Środek — zero. W prawo liczby dodatnie (dodatnie), w lewo ujemne (ujemne).

  −5  −4  −3  −2  −1  0  1  2  3  4  5
  ←—————————————————————————————————→

Każdej liczbie całkowitej odpowiada punkt. Między 2 i 3 są ułamki: 2,5, 8/3, …

Im bardziej w prawo, tym liczba większa.
−2 > −8, bo −2 leży na prawo od −8. Pułapka: «ósemka większa» — nie, znak minus jest ważniejszy.

0 jest większe od każdej ujemnej: 0 > −1.

2. Liczba przeciwna i moduł

Liczba przeciwna
Do liczby a liczbą przeciwną jest −a.
RU: Противоположное. Для 6 это −6. Для −3 это 3.

Na osi: 3 i −3 są w tej samej odległości od zera, po dwóch stronach.

Wartość bezwzględna / moduł
|a| to odległość liczby a od zera na osi.
RU: Модуль. Всегда ≥ 0.

|7| = 7
|−7| = 7
|0| = 0

Definicja, którą warto umieć powiedzieć:

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera.

3. Odległość dwóch punktów

Punkty A i B na osi mają współrzędne a i b.

Odległość
Odległość między punktami A i B wynosi |a − b|.
RU: Расстояние = модуль разности. Порядок точек не важен: |a−b| = |b−a|.

Przykład krok po kroku

Odległość od −3 do 5.

Krok 1. Wzór: |−3 − 5| albo |5 − (−3)|. Drugi wygodniejszy: minus przy minusie.

Krok 2. 5 − (−3) = 5 + 3 = 8

Krok 3. |8| = 8

Na osi: od −3 do 0 jest 3, od 0 do 5 jest 5, razem 8. Ten sam wynik.

Temperatura

Rano −4°C, po południu 6°C. O ile wzrosła?

|6 − (−4)| = |6 + 4| = 10. O 10 stopni.

Nie pisz 6 − 4 = 2 — zgubisz minus.

Inny przykład

Od −2 do −7: |−2 − (−7)| = |−2 + 7| = 5.
Albo palcem: od −7 do −2 jest pięć kroków w prawo.

4. Liczby całkowite w działaniach (krótko)

Na osi widać, dlaczego 3 − 8 = −5: startujesz w 3, idziesz 8 w lewo.

−5 + 2 = −3 — dwa kroki w prawo.
−5 − 2 = −7 — dwa w lewo.
−4 · 3 = −12 — minus razy plus daje minus.
−4 · (−3) = 12 — minus razy minus daje plus.

Na ten sprawdzian wystarczy pewnie dodawanie, odejmowanie i odległość. Mnożenie znaków — jeśli pojawi się, pamiętaj tę parę zdań.

5. Mini-schemat na kartkę

1. Narysuj oś, zaznacz zero.
2. Zaznacz obie liczby.
3. Policz kroki albo wpisz |a − b|.
4. Wynik bez minusa (odległość nie bywa ujemna).

Jeśli pytanie jest która większa — patrz, kto jest bardziej na prawo, nie kto «większy bez znaku».

6. Zadania

1. Która liczba jest większa? −8 czy −2? −1 czy 0? Krótko dlaczego (oś).

2. Podaj |−11|, |0|, |4,5|.

3. Odległość między −3 i 5.

4. Odległość między −2 i −9.

5. Rano −4°C, wieczorem 6°C. O ile wzrosła temperatura?

6. Punkt A = −5, punkt B = 2. Oblicz |A − B|.

7. Jaka jest liczba przeciwna do 6? Do −13?

8. Oblicz: 3 − 8 oraz −5 + 12. Zaznacz oba wyniki w głowie na osi.

9. Na osi od 0 do liczby a jest 7 jednostek w lewo. Ile wynosi a? Ile wynosi |a|?

10. Dima jedzie windą z piętra −1 (garaż) na piętro 4. Ile pięter jedzie? (odległość)

Jak powiedzieć na sprawdzianie

• Oś liczbowa: zero w środku, ujemne w lewo, dodatnie w prawo.
• Minus dwa jest większe od minus ośmiu, bo leży bardziej na prawo.
• Wartość bezwzględna to odległość od zera.
• Odległość między punktami to moduł różnicy współrzędnych.
• Odległość nie jest ujemna.