Lekcja 1. Liczby: pierwsze, rzymskie, zaokrąglanie

Przedmiot: Matematyka, klasa 7
Dział 1 w dzienniku: Liczby i działania
W podręczniku WSiP rozdział nazywa się Liczby — tematy 1.1–1.4 (ok. s. 9–38)
Dalej: lekcja 2

🎓 Jak czytać z tatą. Najpierw definicja — na głos, po polsku. Potem jeden przykład krok po kroku. Potem zadania. Klucze na dole — tylko tata.

RU: В книге глава «Liczby». В дневнике — «Liczby i działania». Это одно и то же. Числа пиши с запятой: 3,14, не 3.14.

Po co to teraz

Na sprawdzianie 28.09 nauczyciel nie pyta: «czy umiesz liczyć w sklepie». Pyta: jaka to liczba, jak ją zapisać, jak zaokrąglić.

Masz 13 lat. 13 to liczba pierwsza (простое число). W rzymskim zapisie to XIII. Jeśli zaokrąglisz 12,6 do jedności — znów 13.

To wszystko jest w pierwszej części działu.

1. Jakie liczby znasz

Cyfra (цифра) to znak: 0, 1, 2, …, 9.
Liczba (число) to wartość: 13 składa się z cyfr 1 i 3.

System dziesiętny (system dziesiętny)

Miejsce cyfry ma wagę:

2057 = 2·1000 + 0·100 + 5·10 + 7·1. Zero też zajmuje miejsce — bez niego byłoby 257.

3,14 = 3 jedności + 1 część dziesiętna + 4 części setne.

RU: «Части dziesiętne» — первый знак после запятой. «Setne» — второй.

2. Rzymski sposób zapisu (rzymski sposób zapisu liczb)

Dwie reguły:

1. Dodajesz, gdy większy (albo równy) stoi z lewej: VI = 5+1 = 6, XX = 10+10 = 20, MM = 2000.
2. Odejmujesz, gdy mniejszy stoi przed większym — tylko te pary:

Nie pisz IIII na 4 — pisz IV. Nie stawiaj czterech takich samych znaków pod rząd.

Nie odejmujesz V od X (VX — źle). Tylko I przed V/X, X przed L/C, C przed D/M.

Przykłady

Krok przy XLIV: XL = 40, IV = 4, razem 44. Nie czytaj od lewej «10, 50, 1, 5».

3. Liczby pierwsze i złożone. Dzielenie z resztą

Liczba pierwsza
Liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie.
RU: Простое. Делится только на 1 и на себя.

Liczba złożona
Liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki.
RU: Составное. Есть ещё делитель.

Jedynka (1) nie jest pierwsza i nie jest złożona. Na sprawdzianie to częsta pułapka.

Pierwsze do 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
2 jest jedyną parzystą pierwszą.

15 jest złożona: dzielniki 1, 3, 5, 15.
13 (wiek Dimy) jest pierwsza.

Dzielenie z resztą

a = b · q + r, gdzie 0 ≤ r < b.

• a — dzielna (делимое)
• b — dzielnik (делитель)
• q — iloraz całkowity (неполное частное)
• r — reszta (остаток)

Przykład. 47 : 5. 5·9 = 45, zostaje 2. Więc 47 = 5 · 9 + 2. Reszta 2.

Reszta zawsze mniejsza od dzielnika. Reszta 5 przy dzielniku 5 — źle, to już następna «pełna» piątka.

Rozkład na czynniki pierwsze (rozkład na czynniki pierwsze)

Dzielisz przez najmniejsze pierwsze, aż zostanie 1.

84: 84÷2=42, 42÷2=21, 21÷3=7, 7÷7=1.
84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7

Z rozkładu bierzesz NWD i NWW (часто wracają z klas 4–6):

• NWD (największy wspólny dzielnik) — наибольший общий делитель
• NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) — наименьшее общее кратное

NWD(12, 18) = 6, NWW(12, 18) = 36.

4. Rozwinięcia dziesiętne. Ułamki okresowe

Dzielisz licznik przez mianownik — dostajesz rozwinięcie dziesiętne (десятичную запись).

Zapis 0,(3) znaczy 0,333…. Nawias to okres (период).
1/6 = 0,1(6) — najpierw 1, potem kręci się 6.

Liczba wymierna ma rozwinięcie skończone albo okresowe. To zapamiętaj.

Proste pary (warto umieć na pamięć):

Przykład krok po kroku. 3 : 8

8 mieści się w 30 trzy razy (24), zostaje 6 → 0,3…
60 : 8 = 7 (56), zostaje 4 → 0,37…
40 : 8 = 5, reszta 0. Koniec. 3/8 = 0,375 (skończone).

5. Zaokrąglanie liczb (zaokrąglanie)

Patrzysz na następną cyfrę po tym miejscu, do którego zaokrąglasz.

• cyfra 0, 1, 2, 3, 4 — zostawiasz
• cyfra 5, 6, 7, 8, 9 — podnosisz o 1

W polskiej szkole 5 idzie w górę.

Przykład. 2,450 do części dziesiętnych: następną cyfrą jest 5 → 2,5.

Mów: zaokrąglij do jedności / do dziesiątek / do części setnych. Nie mów «округли как удобно».

6. Zadania

Pisz w zeszycie. Zostaw miejsce na rachunek.

1. Zapisz rzymsko: 9, 14, 28, 44, 90, 2026.

2. Zapisz arabsko: VII, XIX, XL, XLIX, XCIX, MMXVII.

3. Które są pierwsze, które złożone, a które ani-ani? 1, 2, 9, 13, 21, 29

4. 73 : 8. Podaj iloraz całkowity i resztę. Sprawdź wzorem a = b · q + r.

5. Rozłóż na czynniki pierwsze: 60 i 84.

6. Zapisz dziesiętnie (skończone albo okresowe): 1/8, 2/5, 1/3, 5/6.

7. Zaokrąglij 4,165 do części setnych. Zaokrąglij 638 do dziesiątek.

8. W liczbie 2057 jaką wartość ma cyfra 0? Jedno zdanie.

9. NWD(18, 24) i NWW(18, 24).

10. Dima ma 13 lat. Zapisz ten wiek rzymsko i powiedz, czy 13 jest pierwsza.

Jak powiedzieć na sprawdzianie

• Jedynka nie jest liczbą pierwszą ani złożoną.
• Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki.
• Reszta jest mniejsza od dzielnika.
• IV to cztery, IX to dziewięć.
• Pięć i więcej — zaokrąglam w górę.
• Jeden przez trzy to zero przecinek okres trzy.