Lekcja 2. Działania, ułamki, szacowanie

Przedmiot: Matematyka, klasa 7
Dział 1 w dzienniku: Liczby i działania
W podręczniku WSiP tematy 1.5–1.7 (ok. s. 39–59)
Po: lekcji 1
Dalej: lekcja 3

🎓 Jak czytać z tatą. Własności — na pamięć, po polsku. Potem kolejność działań. Potem ułamki w zeszycie. Klucze — tylko tata.

RU: Знак умножения в школе часто точка: 3 · 4. Запятая в числе: 0,5. Скобки считаешь первыми.

Po co to teraz

Lekcja 1 mówiła, jakie to liczby. Teraz: co z nimi robić, żeby nie pomylić kolejności i nie zgubić ułamka.

Na sprawdzianie bywa jedno długie wyrażenie i jedno «oszacuj, nie licz dokładnie».

1. Własności działań (własności działań)

Naucz się nazw. Na sprawdzianie: Podaj nazwę własności.

Przemienność (przemienność)
a + b = b + a · a · b = b · a
RU: Переместительный закон. Слагаемые / множители можно менять местами.

Łączność (łączność)
(a + b) + c = a + (b + c) · (a · b) · c = a · (b · c)
RU: Сочетательный. Скобки при одном знаке не меняют сумму / произведение.

Rozdzielność (rozdzielność mnożenia względem dodawania)
a · (b + c) = a · b + a · c
i odejmowania: a · (b − c) = a · b − a · c
RU: Распределительный. Скобку «раскрыwasz».

Element neutralny:

• dodawanie: a + 0 = a
• mnożenie: a · 1 = a

Odejmowanie i dzielenie nie są przemienne: 7 − 3 ≠ 3 − 7, 8 : 2 ≠ 2 : 8.

Przykład

4 · (12 + 5) = 4 · 12 + 4 · 5 = 48 + 20 = 68
Albo najpierw nawias: 4 · 17 = 68. To samo, bo rozdzielność.

2. Kolejność wykonywania działań

Od lewej do prawej, ale nie wszystko naraz.

1. Nawiasy (nawiasy)
2. Potęgi (potęgi), jeśli są (kwadrat z niższych klas: 3² = 9)
3. Mnożenie i dzielenie — od lewej
4. Dodawanie i odejmowanie — od lewej

3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23 — nie 35.
(3 + 4) · 5 = 7 · 5 = 35.

24 : 4 · 2 = 6 · 2 = 12 — od lewej, nie «najpierw 4·2».

RU: Если нет скобок, умножение сильнее сложения. Умножение и деление — одного уровня, иди слева.

3. Ułamki zwykłe i dziesiętne

2 1/3 = (2 · 3 + 1)/3 = 7/3.
W drugą stronę: 7 : 3 = 2 r. 1 → 2 1/3.

Skracanie (skracanie)

Dzielisz licznik i mianownik przez NWD.
18/24, NWD(18,24)=6 → 3/4.

Dodawanie i odejmowanie

Wspólny mianownik (wspólny mianownik) — często NWW.

Przykład. 2/3 + 1/4

NWW(3,4)=12
2/3 = 8/12, 1/4 = 3/12
8/12 + 3/12 = 11/12

Mnożenie

Licznik · licznik, mianownik · mianownik. Można skrócić przed.

2/3 · 3/4 = 2/4 = 1/2 (trójki skracasz).

Dzielenie

Mnożysz przez odwrotność (odwrotność, обратное число).

5/6 : 2/3 = 5/6 · 3/2 = 15/12 = 5/4 = 1 1/4

Odwrotność 2/3 to 3/2. Odwrotność 4 to 1/4.

Ułamek i zapis dziesiętny w jednym wyrażeniu

Zamień na jeden język. Łatwiej na ułamki albo na dziesiętne — jak wygodniej, byle równo.

0,25 + 1/2 = 1/4 + 2/4 = 3/4
albo 0,25 + 0,5 = 0,75.

0,6 = 3/5 (bo 6/10 = 3/5).

4. Wyrażenia i szacowanie (szacowanie)

Szacować = podać przybliżoną wartość, zanim (albo zamiast) dokładnego rachunku. Na sprawdzianie: Oszacuj, a potem oblicz.

Typowe zaokrąglenia do szacunku:

Przykład. 19,8 · 3,1

Szacunek: 20 · 3 = 60
Dokładnie: 19,8 · 3,1 = 61,38
Szacunek blisko — rachunek raczej OK.

198 + 51 ≈ 200 + 50 = 250. Dokładnie 249.

Gdy wyrażenie ma kilka działań — szacuj każdy składnik, potem kolejność ta sama.

3,9 + 2,1 · 4,8 ≈ 4 + 2 · 5 = 4 + 10 = 14
Dokładnie: 2,1 · 4,8 = 10,08; 3,9 + 10,08 = 13,98.

RU: Сначала прикидка, потом точный счёт. Если «точно» вышло 80, а прикидка 14 — ищи ошибку в порядке действий.

5. Przykład krok po kroku (całe wyrażenie)

Oblicz: 1 1/2 + 3/4 · (2 − 2/3)

Krok 1. Nawias: 2 − 2/3 = 6/3 − 2/3 = 4/3

Krok 2. Mnożenie: 3/4 · 4/3 = 1

Krok 3. 1 1/2 + 1 = 2,5 = 5/2

Szacunek z grubsza: 1,5 + 0,75 · 1,3 ≈ 1,5 + 1 = 2,5. Zgadza się.

6. Zadania

1. Jaką własność widać? 7 + 4 = 4 + 7 · 5 · (2 + 8) = 5 · 2 + 5 · 8

2. Oblicz: 3 + 4 · 5 oraz (3 + 4) · 5.

3. Oblicz od lewej: 24 : 4 · 2 oraz 24 : (4 · 2).

4. 2/3 + 1/6. Skróć wynik, jeśli można.

5. 3/5 · 10/9.

6. 1 3/4 + 2 1/2. Wynik jako liczba mieszana.

7. 5/8 : 1/4.

8. 0,6 + 1/4. Podaj ułamek zwykły i dziesiętny.

9. Oszacuj, potem oblicz dokładnie: 19,8 · 3,1.

10. Oblicz: 4 · (12 − 5) + 2².

Jak powiedzieć na sprawdzianie

• To przemienność dodawania.
• To rozdzielność mnożenia względem dodawania.
• Najpierw nawiasy, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie.
• Dzielę przez ułamek — mnożę przez odwrotność.
• Szacuję: dwadzieścia razy trzy to sześćdziesiąt.